May 25 2000
باطلنماي راسل و نظريهي مجموعهها
مجموعهها در نظريهي مجموعهها به دو دسته بخش ميشوند: آنها كه عضو خود هستند و آنها كه نيستند. اكنون از اين ميان مجموعههايي كه عضو خود نيستند را در نظر ميگيريم. X را مجموعهي اين مجموعهها در نظر ميگيريم، به بيان ديگر Xمجموعهاي است كه هر مجموعهاي كه عضو خودش نيست به آن متعلق است. براي نمونه مجموعهي اعداد طبيعي، مجموعهي سيبها، مجموعهي تهي و نيز بيشمار مجموعهي ديگر از آنجا كه عضو خود نيستند، به اين مجموعه تعلق دارند. اكنون ميخواهيم بدانيم كه با اين تعريفي كه از به X ارائه داديم خود به X به خودش متعلق است يا خير. فرض كنيم كه Xخودش تعلق داشته باشد، در اين صورت بنا بر تعريف نبايد به خودش متعلق باشد، چون اعضاي X عضو خود نيستند. حال در نظر بگيريم كه X خودش تعلق نداشته باشد در اين صورت بايد بپذيريم كه Xعضو خودش است چرا كه مجموعههايي كه در X عضو نيستند همه عضو خود هستند. بر اين اساس با وجودي كه مجموعهي X تعريفي روشن و بدون تناقض داشت، اما در موضوع عضويت اين مجموعه به خودش تناقض ايجاد شد. اين تناقض در قالبهاي مختلف بيان شده است، اما كسي كه به زبان رياضي آن را مطرح كرد و براي نخستين بار تلاشهاي منطقدانان را در پشت گوش انداختن آن مردود اعلام كرد برتراند راسل بود. از اين رو اين باطلنما را به نام او ميشناسند.
بيان ديگري از باطلنماي راسل چنين است: آرايشگري ادعا ميكند كه ريش آنها را و فقط آنها را ميتراشد كه خود ريششان را اصلاح نكنند. حال اگر اين ادعا درست باشد، آرايشگر ريش خود را ميزند يا نه؟ اگر او ريش خود را بزند بنابراين جزو كساني است كه خود را اصلاح ميكنند و آرايشگر آنها را اصلاح نميكند، پس در اين حالت او نميتواند ريش خود را بزند. اما اگر او ريشش را خود كوتاه نكند جزو كساني است كه آرايشگر بايد آنها را اصلاح كند و بر اين اساس بايد خودش ريشش را اصلاح كند. پس اينكه آرايشگر ريش خود را ميزند يا نه محل تناقض است.
باطلنماي راسل مانند ساير باطلنماها نمودي از يك تناقض منطقي در يك مدل رياضي است. چگونگي تفسير و توجيه اين تناقضها امري بسيار مهم است كه دربارهي آن اختلاف نظر وجود دارد. مخالفان منطق آنها را نشانههاي خلل و ضعف منطق ميدانند و هواداران منطق چند ارزشي نيز براي در هم كوبيدن منطق دودويي از آنها استفاده ميكنند. نگارنده علي رغم تعلق خاطري كه به منطق فازي دارد هر دو موضعگيري را نامعقول دانسته و اين را نشانهاي از سوء استفادههاي بهناحق از باطلنماها ميداند.
كسي منكر آن نيست كه باطلنماها حقيقتاً حاوي تناقض هستند و اين تناقض امري ذاتي است و مانند سفسطههاي رياضي به تردستي و فريبكاري طراح خود بستگي ندارد. نكتهاي كه در اين ميان بايد به آن توجه شود اين است كه يك باطلنما اساس منطق دودويي را به عنوان ابزاري قراردادي و قابل اعتماد زير سؤال نميبرند بلكه مدلهاي انتزاعي رياضيات را زير سؤال برده و وجود نقايصي در كارايي آنها را يادآور ميشوند و اين امر خيلي پيش پا افتادهتر از آن است كه به واسطهي آن بتوان به رويارويي در برابر منطق دوارزشي پرداخت.
به باطلنماي راسل باز ميگرديم؛ باطلنمايي كه منطق دودويي را به كار گرفته، اما در فضايي بحث ميكند كه نظريهي مجموعهها و قواعد مربوط به آن مورد قبول است و اشكال كار هم در همين جا است. در نظريهي مجموعهها به طور قراردادي، مفهوم تعلق به دو شكل بيان ميشود. صورت نخست مفهوم عضويت است كه نشانگر تعلق داشتن يك عضو به يك مجموعه ميباشد، مانند تعلق سيبي كه در دست شما است به مجموعهي سيبهاي دنيا. مفهوم دوم نيز مفهوم زير مجموعه بودن است كه با مفهوم نخست متفاوت است. در اين مقوله شما شامل شدن يك مجموعه را توسط مجموعهاي ديگر بررسي ميكنيد. براي نمونه مجموعهي سيبهاي يك باغ خود يك مجموعه است و نه يك سيب، بنابراين به مجموعهي سيبهاي جهان تعلق ندارد، اما زير مجموعهي آن هست. به نظر ميرسد كه در نخستين گامهاي معرفي اين نظريه، مجموعه معنايي مجرد و مستقل از اعضاي خود پيدا ميكند. شما يك سيب را ميشناسيد. آن را بو ميكنيد، گاز ميزنيد و ميخوريد. همهي اعضاي مجموعهي سيبهاي جهان كمابيش قابل گاز زدن هستند. اما خود مجموعهي سيبهاي جهان چه؟ هنوز يادمان نرفته كه چيزي به نام مجموعهي سيبهاي جهان وجود خارجي ندارد. چيزي كه وجود دارد سيب است و ما براي آنكه همهي سيبهاي جهان را در يك ارتباط ذهني بگنجانيم اين عنوان را جعل كردهايم. اگر به اين عنوان جعلي يعني مجموعهي سيبهاي جهان اعتبار بدهيم ميتوانيم خود آن را يك پديده قلمداد كنيم. پديدهاي كه مانند سيب يك پديده است تا جايي كه ميتواند عضو يك مجموعهي ديگر هم باشد. بر اين اساس مجموعهي سيبهاي جهان رنگ و بو و مزه ندارد چرا كه يك مجموعه است و نه يك ميوه. اگر بخواهيم اين مفهوم را بيشتر درك كنيم بايد يك گوني بزرگ را در نظر بگيريم كه همهي سيبهاي جهان را چيده و در آن قرار دادهايم. روشن است كه اين گوني فرضي از جنس ميوههاي درونش نيست بلكه از بافت گوني است. اعتبار دروغيني كه در دنياي ذهني خود به مفهوم عقلي مجموعه داديم چيزي است مانند تصور كردن يك گوني بسيار بزرگ در حالي كه اصلاً وجود ندارد. اما اين تصور در كجا ايجاد اشكال ميكند؟
بياييد در نظريهي مجموعهها كمي پيش برويم. آيا يك مجموعه ميتواند عضو خودش باشد؟ گاه نه و گاه آري.
حالت نخست را بررسي ميكنيم و دوباره به مجموعهي سيبها باز ميگرديم. اعضاي اين مجموعه را سيبها تشكيل ميدهند و نه چيز ديگر. چنانكه گفتيم مجموعهي سيبها يك مجموعه است و نه يك سيب پس به مجموعهي سيبها تعلق ندارد. ميتوانيم جور ديگري استدلال كنيم. ما ميتوانيم سيبي كه در دستمان است بخوريم. هر سيب ديگر را هم ميتوانيم بخوريم. در واقع همهي اعضاي مجموعهي سيبهاي جهان براي ما قابل بلع هستند. اما مجموعهي سيبها چنين نيست، نه از آن جهت كه بزرگ است و در دستگاه گوارش ما نميگنجد بلكه از آن رو كه يك مجموعه است و قابل خوردن نيست درست مانند مجموعهي اعداد طبيعي. باز مثال گوني را به خاطر بياوريد. اين بار نه گوني كه همهي سيبهاي جهان در آن انداخته شدهاند، بلكه گوني كه تنها يك سيب در آن قرار گرفته است را در نظر بگيريد. آيا بافت اين گوني براي شما قابل هضم است؟!
به نظر ميرسد كه با تعريفي كه از مجموعه انجام داديم در حالت طبيعي يك مجموعه به خودش تعلق نداشته باشد. اما اين قانون كلي نيست. اين بار مجموعهي سيبهاي جهان را در نظر ميگيريم. سپس يك عضو به اين مجموعهي پرشمار اضافه ميكنيم. اين عضو مجموعهي سيبهاي جهان است. براي درك بهتر همان گوني غولآسا را با همهي سيبهاي درونش در نظر بگيريد. ما در آن را محكم ميبنديم و به همراه همهي سيبهاي دنيا در يك گوني ديگر قرار ميدهيم. اين عمل را براي گوني سوم و چهارم و … تكرار ميكنيم. فرض ميكنيم اين عمليات براي بيشمار گوني انجام پذيرد. گوني بيروني را در نظر ميگيريم. اين گوني داراي اعضايي است. همهي سيبهاي جهان به اضافهي يك گوني ديگر در اين گوني قرار دارند. اين گوني دروني دقيقاً چيزي مانند گوني بيروني و گويي خود او است. بنابراين ميتوانيم بگوييم مجموعهي ساخته شده در اثر اين خيالپردازي عضو خودش است، درست مانند يك سيب كه عضو مجموعهي سيبها است. در مدلي آسانتر ميتوانيم همهي سيبهاي جهان را در يك گوني بريزيم و اسم گوني را G بگذاريم. سپس يك كاغذ كه روي آن حرف G نوشته شده است را به همراه سيبها درون گوني قرار بدهيم. در اين حالت هر گاه كه كاغذ مذكور را به عنوان يك عضو بررسي ميكنيم متذكر ميشويم كه اين كاغذ در واقع همان گوني بزرگ است. اين بدان معنا است كه G به G تعلق دارد.
در دو بند فوق دو مجموعه بر اساس تعاريف و خيالپردازيهاي رياضيگونهي ما شكل گرفت. مجموعهي نخست مجموعهاي كه به خود تعلق ندارد و مجموعهي دوم شايد مثال بسيار سادهاي از مجموعهاي كه عضو خودش است. اكنون همهي مجموعههايي كه مانند مجموعهي نخست عضو خود نيستند را در نظر ميگيريم. گوني كه همهي سيبهاي جهان در آن است، گوني كه همهي پرتغالهاي بم تاريخ بشر در آن قرار دارد، يك گوني خالي، گوني كه اعداد حقيقي بين دو و چهار را در آن ميتوان يافت و … . اكنون يك گوني بسيار بزرگ به نام X ميآوريم و همهي اين گونيها را در آن مياندازيم. اكنون پرسش اصلي باطلنماي راسل مطرح ميشود؛ آيا X (گوني بزرگ) به خودش تعلق دارد يا نه؟ بعيد به نظر ميرسد كه در هنگامي كه ما مجموعهها را يكي يكي داخل گوني بزرگ ميانداختهايم مجموعهي X را هم در ميان آنها انداخته باشيم، پس ما X را به عنوان مجموعهاي كه در خودش عضو نيست قبول نداريم و در واقع X را عضو خودش ميدانيم. اگر اين گونه است و X عضو خودش است پس چرا ما آن را درون گوني بزرگ نيانداختهايم؟ حال فرض كنيم كه X را در گوني بزرگ انداخته باشيم. اين بدان معنا است كه X هم مانند مجموعهي سيبها به خودش تعلق نداشته است و بنابر قانون ما بايد بيرون از گوني بزرگ قرار گيرد. اگر چنين است پس چرا ما آن را درون X انداختهايم؟ بالاخره براي رفع تناقض X را درون گوني بزرگ (خود X) بياندازيم يا نه؟ هيچ پاسخ قانعكنندهاي براي اين پرسش وجود ندارد، چرا كه بر اساس تعاريف مذكور عضويت X به خودش مطلبي است كه ايجاد تناقض ميكند و اين همان جزء توليد كنندهي تناقض در باطلنماي راسل است.
ديده ميشود كه تناقض اخير چندان هم با منطق دودويي در نميافتد. ما بدون هيچ منطقي دست به انتزاع مفهومي چون مجموعه زديم. سپس بر همين منوال به اين مفهوم چنان استدلالي بخشيديم كه گفتيم نميتواند عضو خود باشد مگر عضويت آن به خودش تعريف شود. در واقع ما در گوني كه به عنوان مجموعه، به دور اشياي مورد نظرمان ميكشيديم به حدي محكم بستيم كه به طور كلي از آن پديدهاي به جز اشياي درونش ساخته شد. مرحلهي بعدي اين بود كه نام گوني را به عنوان يك تكه كاغذ درون خودش قرار دهيم و فرض كنيم كه اين تكه كاغذ خود گوني بزرگ حتا پس از قرار داده شدن كاغذ است. در آخرين گام هم همهي گونيهاي جهان را به جز گونيهايي كه خود را بدون واسطه در دل داشتند در يك گوني بزرگ قرار داديم و سرانجام به يك تناقض برخورديم مبني بر اينكه مشخص نيست كه خود اين گوني عظيم در دل خودش وجود دارد يا خير. تناقضي كه بيش از هر چيز سير خيالپردازيهاي ما را مخدوش ميكند و نه ملات مستحكمي چون منطق دوارزشي را كه موظف است گزارهها را به مثابهي آجرهايي به يكديگر پيوند دهد. تناقضي كه ما دريافت كردهايم ميتواند با يك بازبيني در نظريهي قراردادي مجموعهها حل شود؛ نظريهاي كه همچون ساير نظريههاي رياضي مدلسازي سودمند است و نه بيشتر و اگر همين سود را هم نداشت بيشتر به كاغذبازيهاي بيثمر ادارات ميمانست. باطلنماي راسل به خوبي بيانگر اين است كه تعريف عضويت در نظريهي مجموعهها تعريفي سازگار نيست و در حالت خاص به بنبست بر ميخورد. اين نتيجه براي يك باطلنما بسيار خوب و راضيكننده است و دليلي ندارد كه از آن انتظار داشته باشيم بنيانهاي منطق كلاسيك را براي ما زير و زبر كند چرا كه توانايي آن را هم ندارد.
براي رفع باطلنماي راسل چارهاي نيست مگر تجديد نظر در اركان نظريهي مجموعهها. براي اين كار ميتوانيم اين نظريه را از گرفتاري در گونيها خلاص كنيم. فرض كنيم كه مايل به طبقهبندي اشياء و مفاهيم در قالب مجموعهها هستيم، مثلاً ميخواهيم همهي سيبهاي جهان را در يك گروه قرار دهيم. بياييد اين بار آنها را درون يك گوني مهر و موم شده نياندازيم و تنها در يك گوشه نگهداري كنيم. حذف گوني به اين معنا است كه حاصل مجموعهي سيبها خود از جنس جديدي نيست و از خواص اعضايش طبقهبندي ميكند. اكنون تعريف عضويت را در اين مدل بدين شكل دگرگون ميكنيم: هر مجموعهاي كه شامل سيبها يا ذرات تشكيل دهندهي آنها باشد عضو مجموعهي سيبها است. بر اين اساس سيب، مجموعهي پنج سيب، هستهي يك سيب و اجتماع پوست يك سيب لبناني با نيمي از يك سيب گلاب همگي از اعضاي مجموعهي سيبهاي جهان هستند. چون در اينجا هيچ عضوي نيافتيم كه تجزيهناپذير باشد تنوع اعضاي قابل تصور براي عضويت در مجموعهي سيبها به بينهايت رو نهاد. در هنگامي كه اعضا تجزيه ناپذير هستند – مانند اعداد طبيعي – تعريف عضويت سادهتر است و معادل زيرمجموعه بودن در تعريف كلاسيك است. اكنون اگر اين مفهوم را براي عضويت جايگزين كنيم ناخودآگاه گزارهاي خواهيم داشت مبني بر اينكه هر مجموعهاي عضو خودش است. اگر اين نظريه را پي بگيريم به اين نتيجه خواهيم رسيد كه در باطلنماي راسل مجموعهي مجموعههايي كه به خود متعلق نيستند تهي است – چرا كه همهي مجموعهها به خود متعلقاند. اكنون بايد به تغييري ديگر در نظريهي مجموعهها رو بياوريم و آن اين است كه مجموعهي تهي تعريف نشده است و در واقع مجموعهاي كه بدون عضو باشد وجود ندارد. در واقع ما حق نداريم مجموعهي تهي را مجموعه به حساب آوريم. هنگامي كه ما اعضاي مجموعهها را در گونيهاي خيالي قرار ميداديم مجموعهي تهي يك گوني خالي بود و به واسطهي پوستهاش چيزي غير از هيچ بود و از اين رو يك مجموعه به شمار ميآمد، ولي با حذف گونيها مجموعهي تهي همان هيچ است و به بيان فارسي آن هيچ نيست! از اين رو است كه نبايد آن را به عنوان يك مجموعه يا هر چيز ديگر محسوب نمود. با نكتهي جديدي كه دربارهي تهي ميدانيم بايد اذعان كنيم كه در باطلنماي راسل مجموعهي مجموعههايي كه به خود متعلق نيستند تعريف نشده است و مجموعه به حساب نميآيد. از اين رو عضويت آن به خود نيز تعريف نشده بوده و اصل تناقض از ميان رفته و گرهي باطلنماي راسل گشوده ميشود. بنابراين ميتوان ادعا كرد كه باطلنماي راسل تنها اصول موضوعه و بديهيات بدون اثبات و جعلي نظريهي مجموعهها را زير سؤال ميبرد و دلالت بر ناهماهنگي كامل آنها با يكديگر دارد.
ميتوان در اين باره به باطلنماي دروغگوي كرتي نيز اشارهاي كوتاه كرد: يكي از اهالي كرت ميگويد مردم كرت دروغگو هستند. آيا او راست گفته است يا دروغ؟ اگر او راست بگويد، بنا بر گفتهاش بايد بپذيريم كه خود او نيز به عنوان يك كرتي دروغ ميگويد و اين ممكن نيست كه او هم راست بگويد و هم دروغ. اگر هم فرض كنيم كه او دروغ ميگويد بايد مردم كرت را راستگو به شمار آوريم و او نيز بايد به عنوان يك كرتي راست گفته باشد كه اين هم باز تناقض است. در بررسي اين باطلنما نخست بايد به اين نكته توجه كنيم كه گزارهها وجود خارجي ندارند و تنها ابزارهايي جعلي هستند تا بتوانيم پديدههاي اطراف خود را به نحوي آسان و قابل انتقال بيان كنيم. بدين ترتيب شما ميتوانيد ابري بودن هوا را در گزارههاي خود توصيف كنيد بدون آنكه به تناقض بر بخوريد، اما هنگامي كه يك گزاره راجع به يك گزارهي ديگر صحبت ميكند اوضاع كمي متفاوت است. تا پيش از ابداع گزارهها گزارهاي نبود كه راجع به آن گفتگو شود. با ابداع گزارهها خود اينكه يك گزاره درست است يا نه ميتواند موضوعي باشد براي ساير گزارهها. براي نمونه شما ميتوانيد گزارهي هوا ابري است را گزارهي p بناميد و گزارهي q را چنين بيان كنيد كه گزارهي p نادرست است. در اين حالت گزارهي q خود يك گزاره محسوب ميشود چرا كه به طور مستقيم بدين شكل قابل بيان است: هوا ابري نيست. اما در باطلنماي كرتي اين جمله من دارم دروغ ميگويم به خودش اشاره ميكند و اين روند تا ابد ادامه دارد بي آنكه از دنياي مجازي گزارهها خارج شويم و به يك پديدهي حقيقي و قابل بيان برسيم. پس به راحتي ميتوانيم بگوييم جملهي q اصلاً گزاره نيست كه بخواهد درست يا نادرست باشد. ديده ميشود كه در باطلنماي دروغگوي كرتي هم بنياد منطق دوارزشي به زير سؤال نميرود و تنها اين موضوع كه جملات بيمغزي كه تنها دربارهي جملات صحبت ميكنند گزاره به شمار ميروند، به نقد كشيده ميشود. بنابراين در اينجا اين امر كه يك گزاره راجع به خود صحبت كند مشكل ايجاد ميكند درست مانند باطلنماي راسل كه يك مجموعه بتواند علاوه بر اعضاي گسستهاش خود را نيز همانند يك عضو در بر داشته باشد. جدال بيش از اندازهاي كه بر سر باطلنماها رخ ميدهد زاييدهي اين تفكر نه چندان درست است كه رياضيات مجموعهاي از حقايق عالمگير و با اصالت است، نه مجموعهاي از مدلهاي سودمند.
بر اين اساس باطلنماي راسل نشان دهندهي يك ناسازگاري در بنياد نظريهاي در رياضيات نوين است، نه شكافي در منطق دوارزشي. اگر در نظريهي مجموعهها مفهوم انتزاعي يك مجموعه آن قدر اعتبار نمييافت كه خود به عنوان يك عضو براي مجموعههاي ديگر مطرح شود و اگر جداسازي مفهوم عضويت از زيرمجموعه بودن صورت نميپذيرفت ديگر باطلنماي راسل به تناقض ختم نميشد، گر چه در آن صورت اين نظريه برخي از كاربردهاي سودمند خود را از دست ميداد. به نظر ميرسد كه راسل ميتواند مچ كانتور را بگيرد، اما هرگز نميتواند – دست كم از اين روش نميتواند – با ارسطو گلاويز شود.
روزنامهي آريا: نظر به اينكه اين روزنامه خيلي دست به عصا راه رفته و ماهيت پليد دوم خردادي خود را صراحتاً آشكار نكردهاست، و با عنايت به اينكه تنها روزنامهي دوم خردادي است كه طول عمرش به دو سال نزديك شده و اين واقعاً غير قابل تحمل است، مطابق با برخي از مواد برخي از قانونها و بعضي از بندهاي برخي از اصول قانون اساسي قرار توقيف آن را صادر مينماييم.
